כל מערכת מתימטית מבוססת על קבוצת אקסיומות העומדת בבסיסה. קורט גדל ניסח והוכיח בשנת 1931 צמד משפטים לוגיים הקובעים שבכל מערכת אקסיומות מורכבת מספיק קיימות טענות הניתנות לניסוח בגדר המערכת האקסיומטית אך לא ניתנות להוכחה במסגרת המערכת הזו, וגם לא להפרכה. מעשית, פירוש הדבר הוא שקיימות השערות מתמטיות שהן נכונות במסגרת מערכת האקסיומות, אלא שהן מנימוקים מהותיים לא ניתנות להוכחה.
בנוסף לכך, גדל הראה שכל מערכת אקסיומטית מורכבת מספיק על מנת להוות מערכת אקסיומטית של האריתמטיקה עומדת בתנאי המשפט, ולכן לא תתכן מערכת אקסיומות שלמה לאריתמטיקה.
משפטי גדל הביאו לתובנות חדשות וחוללו בשעתן משבר גדול במתימטיקה ובפרט הביא לסיומה את תוכניתו של המתמתיקאי הילברט להתחיל שיטתית בפתרון כל הבעיות הפתוחות בממתימטיקה (תוכנית שנודעה בשם "פרוגרמת הילברט").